メインページとゲームページにある「更新」とは何ですか。

「更新」の数字が示しているのは各ページが自動更新する間隔の時間です。（例えば、メインページとゲームページで示される相手の着手待ちのゲーム数など）。この機能はメインページにまで戻らなくても途中のゲームの状態が知りたいという要望に応えてのものです。
更新の時間間隔を短めに設定したのに何も更新されない場合はあなたがお使いのブラウザが自動更新をサポートしていないことが考えられます。